2° AÑO. MATEMÁTICA

Profesor: CARLOS TIRADO               2° AÑOS                  

Año escolar : 2020-2021.    2do LAPSO. 

FECHA DE ENTREGA 10/02/2021

¿Qué son números racionales y 5 ejemplos?

 Los números racionales son todos los números que son susceptibles de ser expresados como una fracción, es decir, como el cociente de dos números enteros. La palabra 'racional' deriva de la palabra 'razón', que significa proporción o cociente. Por ejemplo: 1, 50, 4, 99, 142.

 ¿Cómo se saca un número racional?

 Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

¿Cuál es el orden de los números racionales?

Orden de los Números Racionales

Para números racionales que tienen el mismo denominador hay que comparar los numeradores. La fracción con mayor numerador será mayor. De dos o más números racionales que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.

 ¿Dónde se aplican los números racionales en la vida cotidiana?

 Dos ejemplos de la vida cotidiana que involucren los números racionales. Una claro ejemplo puede ser el peso de una persona, cuando nos paramos en una bascula. Nuestro peso generalmente no es un peso con números enteros. Por ejemplo puedes pesar: 64.65 kg, estoy ya forma parte de los números racionales

 ¿Cómo se clasifican los números racionales ejemplos?

 Los números racionales son: los números enteros y los números fraccionarios:

Los números enteros son números que no tienen decimales. Ejemplo: 3.

El cero es un número de valor nulo que representa que no hay una cifra o elemento a contar. ...

Los números fraccionarios son números no enteros, por ejemplo 2/6, 4/5, 6/9.

¿Cuándo no es un número racional?

 Los números que no pueden ser escritos como una relación de enteros son llamados irracionales . Todos los decimales que terminan son números racionales (ya que 8.27 puede ser escrito como 827/100.) Los decimales que tienen un patrón repetitivo después de algún punto también son racionales: por ejemplo, 0.083333333...

 

¿Cómo se escribe un número entero como un racional?

 Un número entero es siempre un número racional. Esto es porque los números enteros se pueden expresar como razón de sí mismos y 1. por ejemplo, el número 5 se puede escribir como 5/1. En matemáticas, los números se pueden representar de las maneras que enmascaran su identidad verdadera.

¿Cuando un número racional es equivalente?

 NÚMEROS RACIONALES EQUIVALENTES. Sean a/b y c/d dos números racionales cualesquiera. Decimos que a/b y c/d son equivalentes, si y solo si, ad=bc; esto es, dos números racionales son equivalentes si sus productos en cruz son iguales.

¿Cómo resolver adiciones y sustracciones de números racionales?

 Para sumar fracciones con distinto denominador, se igualan los denominadores de las fracciones, buscando el mínimo común múltiplo entre los denominadores y amplificando cada fracción por el número que corresponda. Luego, se realiza la adición o sustracción de la misma forma que en el caso anterior (igual denominador).

 ¿Qué operaciones se pueden realizar con los números racionales?

 Operaciones con números racionales

- Suma y resta de números racionales. Para sumar o restar dos o más fracciones es condición necesaria que tengan el mismo denominador. ...

- Multiplicación de números racionales. Se multiplican sus numeradores y sus denominadores. ...

- División de números racionales: ...

- Potencia de un número racional:

Propiedades de números racionales

Los números racionales son aquellos que pueden representarse como cociente de dos números enteros. Es decir, los podemos representar mediante una fracción a/b, donde a y b son números enteros y además b es distinto de cero.

El término “racional” proviene de razón, como parte de un todo (por ejemplo: “Tocamos a razón de tres por persona”).

Cada número racional se puede representar con infinitas fracciones equivalentes. Por ejemplo, el número racional 2.5 se puede representar con las siguientes fracciones:

Y con todas las fracciones equivalentes a éstas.

El conjunto de todos los números racionales se representa con el siguiente símbolo:

Fíjate en que cualquier número entero es también un número racional pues puede representarse como cociente de dos números enteros.

Por ejemplo, el número 5 puede representarse con las siguientes fracciones:

Esto quiere decir que el conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales, que matemáticamente se escribe:

Para completar los números de la recta numérica, o números reales, existen números que no pueden representarse mediante el cociente de dos números enteros.

Estos números se denominan números irracionales, y los más conocidos son estos:

                                             Pi                                              Raíz cuadrada

Los números racionales son el conjunto de todos los números, abarcando tanto los enteros como los fraccionarios. Su nombre proviene del latín “Rationalis” y se traduce como razonado o juzgables, estos números son representados con la letra “Q” la cual proviene del alemán “quotient”, que se traduciría hacia el idioma español como cociente.

Los números racionales se forman con tres categorías:

*Números decimales, finitos o periódicos

*Números enteros

*Números fraccionario            

        

Ejemplos de números racionales decimales:

Decimales finitos:

1/4 = 0,25

1/2 = 0,5

1/8 = 0,125

1/16 = 0,0625

1/ 32 = 0,03125

Decimales periódicos

1/3 =0,333333333

10/3= 3,33

100/3 = 33,33

1000/3 = 333,33

10000/3= 3333,33

Nota: La testa es el signo que se pone sobre los números periódicos e indica que no tienen final.

 

Ejemplos de números racionales enteros:

Números enteros positivos

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

 

Números enteros negativos

{0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9}

 

Ejemplos de números racionales fraccionarios:

Fracciones propias

 Fracciones con numerador menor que el denominador.

 

 Fracciones impropias

Tienen el numerador que debe ser mayor que el denominador pero superior a 1.

  

Fracciones mixtas

Las fracciones mixtas son las que están compuestas de una fracción propia y un número entero que se coloca en su parte izquierda.

 

  Operaciones con números racionales

1.- Suma y resta de números racionales

Para sumar o restar dos o más fracciones es condición necesaria que tengan el mismo denominador. Si tuvieran distintos denominadores lo primero que hay que hacer es obtener fracciones equivalentes con igual denominador.

Para sumar o restar fracciones con igual denominador se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador:

2/3 + 5/3 + 7/3 = (2 + 5 + 7)/3 = 14/3

9/2 – 3/2 – 4/2 = (9 – 3 – 4)/2 = 2/2

Veamos ahora un ejemplo con fracciones con distintos denominadores:

4/5 + 2/3

Procedemos a calcular fracciones equivalentes:

Aplicamos el procedimiento del mínimo común múltiplo: 5 x 3 = 15

Sustituimos las fracciones originales por fracciones equivalentes:

12/15 + 10/15

Ya podemos sumar:

12/15 + 10/15 = 22/15

 

2.- Multiplicación de números racionales

Se multiplican sus numeradores y sus denominadores.

4/6 x 7/3 = (4 x 7)/(6 x 3) = 28/18

 

3.- División de números racionales:

Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.

5/3 : 7/4 = (5 x 4)/(3 x 7) = 20/21

 

4.- Potencia de un número racional:

Se elevan tanto el numerador como el denominador a dicha potencia.

(2/5)³ =2³/5³ = 8/125

Signo de la potencia:

Si la fracción es positiva, la potencia siempre es positiva

Si la fracción es negativa, el signo de la potencia va a depender del exponente: si el exponente es par, la potencia es positiva; si el exponente es impar la potencia es negativa.

Veamos algunos ejemplos:

(-2/4)² =-2²/4² = 4/16 (como el exponente es par el resultado es positivo)

(-2/4)³ =-2³/4³ = -8/64 (como el exponente es impar el resultado es negativo)

Método de conversión de decimales a fracciones

Para convertir decimales en fracciones, hay que saber 3 cosas importantes:

 

-Cuando el decimal no sea periódico, dividiremos entre 1, 10, 100, ..., según sea el caso

 

-Cuando los decimales sean periódicos, dividiremos entre 9,99,999,.., según sea el caso

 

-Cuando existan decimales donde solo una parte es periódica se usará como denominador el 9,90,900,..., según sea el caso

 

 Usaremos de ejemplo estos 3 números:

  El primer caso es bastante sencillo, se trata de una cifra con 4 números decimales y ninguno de ellos es periódico, para convertirlo a fracción basta con escribir el 51 como numerador y en el denominador se colocará un 1 con cuatro ceros, ya que son 4 cifras decimales, de este modo tenemos:

En el segundo caso, tenemos un número con 3 cifras decimales y las 3 cifras son periódicas, entonces, tomaremos como numerador al número 51 y como denominador colocaremos tres nueves, ya que son 3 cifras periódicas de este modo tenemos:

En el tercer caso tenemos un número con tres decimales, pero solo uno es periódico, así que tomaremos como numerador el número 51 y le restaremos 5 unidades, ya que el número 5 que está en los decimales, no es periódico y como denominador colocaremos al número 9 con dos ceros.

Recuerden que ocupamos el 9 por que hay un número periódico y agregamos dos ceros porque hay 2 decimales no periódicos. De este modo tenemos:

Después, si es posible simplificamos las fracciones

 Convertir los siguientes decimales a fracciones:

Solución:

Se trata de una cifra con 4 números decimales y ninguno de ellos es periódico, para convertirlo a fracción basta con escribir el 51 como numerador y en el denominador se colocara un 1 con cuatro ceros, ya que son 4 cifras decimales, de este modo tenemos:

En el numerador escribimos el número sin la coma y en denominador 3 nueves
porque hay 3 cifras periódicas

En el numerador escribimos el número sin la coma y en denominador hay un nueve
y dos ceros porque tenemos una cifra en el período y hay dos cifras decimales

Realiza las siguientes operaciones con potencias:

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 EJERCICIOS RESUELTOS

1.    

Para multiplicar potencias con la misma base se suman los exponentes

   2. 

 3. Para quitar el signo negativo del exponente tenemos que escribir la fracción inversa

 4.  Quitamos el signo negativo del exponente tomando la fracción inversa

 5.   Como no tienen la misma base, tomamos la fracción inversa de la segunda potencia porque su exponente era negativo. 

 6. Para dividir potencias con la misma base restamos los exponentes

Tomamos la fracción inversa, por lo que cambiamos el signo del exponente

 7. Cambiamos el signo del exponente tomando la fracción inversa

 8. 

  9.  

10. Tomamos la fracción inversa de la primera potencia para cambiar el signo del exponente.

 11. Para multiplicar potencias con la misma base se multiplican los exponentes

 12.  Tomamos la fracción inversa para cambiar el signo del exponente  

13.Descomponemos los números en factores, dentro de cada paréntesis dividimos potencias con el mismo exponente, por tanto dividimos las bases y dejamos el mismo exponente.

Tomamos la fracción inversa de la primera potencia para cambiar el signo
del exponente y hacemos lo mismo con el resultado

 

14.En primer lugar efectuamos 

  
Hacemos el inverso de  

APLICACIONES DE FRACCIONES EN NUESTRA VIDA DIARIA

Fracciones en el mercado:

1. Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto le queda? 

Solución:

Para hallar los 3/5 de 180 tenemos que multiplicar por 3 y el resultado dividirlo entre 5

Se quedará con la cantidad original (180) menos los 3/5 gastados (108)

 

 ACTIVIDAD EVALUATIVA

 1. Alicia dispone de  bs  para comprar. El jueves gastó ⅖  de esa cantidad, el sábado los 3/4 de lo que le quedaba.  ¿Cuánto gasto cada día y cuanto le queda al final?

2.    De los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean:

a) 2/5 en combustible,    b) 1/8 se emplea en electricidad,   c) 1/12 en la recogida de la basura,   

d) 1/4 en el mantenimiento del edificio,     e)  y el resto se usa en limpieza

¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?

De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor. 

3.    Realizar las siguientes operaciones:

a) 
b) 

c) 

4.    Ejercicios de operaciones combinadas:

a) 

b)   HASTA AQUÍ LA ACTIVIDAD #1


DEBIDO A LA GRAN EXTENSIÓN DE LA ACTIVIDAD #1.  A PARTIR DE AQUÍ COMIENZA LA 2DA ACTIVIDAD EVALUATIVA


5.
c) 

d)