Propiedad conmutativa
La primera de las
propiedades de la suma de dos números enteros es la propiedad conmutativa la
cual nos muestra que el resultado de la suma no depende del orden de los
sumandos. Esto quiere decir que podemos sumar los números en el orden que
queramos. Esto lo podemos hacer siempre que queramos cuando haya una suma
porque es una propiedad de la suma. Se va a cumplir siempre.
Ejemplo:
(+3) + (-2) = (-2) +(+3)
porque → (+3) + (-2) = 3 – 2 = +1 → (-2) +(+3) = -2 + 3 =+ 1
Propiedad
asociativa
La segunda de las
propiedades de la suma de los números enteros es la propiedad asociativa y
también se va a cumplir siempre, lo cual quiere decir que podemos aplicar esta propiedad
siempre que queramos, ya que el resultado no va a variar si la aplicamos.
Esta propiedad dice que la suma de varios números enteros no depende de la
forma en que se asocien, es decir, cuando solamente hay sumas podemos empezar a
sumar los dos números que queramos de primeros, y luego, a esa suma le vamos
sumando el resto de los números.
Vamos a ver esta
propiedad en el ejemplo: [(+3) + (-2)] +
(-5) = (+3) + [(-2) + (-5)]
En este caso empezamos a
sumar +3 y -2 y al resultado de esa suma le vamos a sumar -5. Pero esa
propiedad nos dice que podemos empezar a sumar primero -2 y -5 y al resultado
de esa suma le podemos sumar +3. Al final el resultado va a ser el mismo, lo
hagamos de una manera o de otra, por eso se puede aplicar siempre esta propiedad.
Pero cuidado, porque esta propiedad sólo se puede aplicar cuando hay solamente
sumas (cuando haya restas hay que tener cuidado porque la resta ya no tiene
esta propiedad y si la aplicásemos, el resultado que obtendríamos sería
erróneo, lo estaríamos haciendo mal).
Elemento neutro para la suma
La
tercera de las propiedades de la suma de los números enteros es el elemento
neutro para la suma. El elemento neutro para la suma es el cero. Esto significa
que si a cualquier número entero le sumamos el cero, el resultado va a ser el
mismo número entero. Por eso se le llama elemento neutro, porque no afecta para
nada al número (el resultado es el mismo número).
Ejemplos:
(-5) + 0 = -5
0 + (-5) = -5
Elemento opuesto de un número entero
La cuarta de
las propiedades de la suma de los números enteros es el elemento opuesto.
El elemento opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo
opuesto
Por ejemplo, el
opuesto de (+1) es (-1) → Op (+1) = (-1)
Si sumamos cualquier número con su opuesto,
el resultado siempre va a ser cero.
Por ejemplo, si sumamos +1 con su
opuesto, que es -1, el resultado siempre nos va a dar cero por esta propiedad:
(+1) + Op (+1) = (+1) + (-1) = 1 – 1
= 0
Los números enteros
opuestos también se llaman enteros simétricos.
-El opuesto de un
número entero positivo, es el mismo número pero negativo.-El opuesto de un
número entero negativo, es el mismo número pero positivo.
-El opuesto de
cero es cero ya que 0+0 = 0
El opuesto del opuesto
El opuesto del
opuesto de un número entero es el mismo número entero.
El opuesto de una suma
El opuesto de la suma de dos números enteros es
igual a la suma de los opuestos.
Ejemplo:
Op [(-5) + (+3)] = op (-5) + op (+3) = (+5) + (-3)
= +2
¿Qué son los números racionales con ejemplos?
Los números racionales son todos los números que son susceptibles de ser expresados como una
fracción, es decir, como el cociente de dos números enteros. La palabra 'racional' deriva de la palabra 'razón', que significa proporción o
cociente. Ejemplos: 1, 50,
4.99.
¿Qué es un número racional?
Los números racionales son aquellos que pueden representarse como
cociente de dos números enteros.
Es decir, los podemos representar mediante una fracción a/b, donde a y b
son números enteros y
además b es distinto de cero
Números Racionales
Los números racionales, son el
conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de
fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a
diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le
sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya
consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los
números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional
existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la
eternidad.
Todos los números fraccionarios son números
racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más
conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto
o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.
Definición de números racionales
Para decir, ¿Qué
son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es
una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números
enteros o más precisamente, un
número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional,
es un número que se escribe mediante una fracción.
Los números racionales son números fraccionarios,
sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción,
por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple
hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.
Al conjunto de los
números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient”
traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo
dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es
la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como
números ℚ.
Un número racional puede ser expresado de
diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes,
por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son
fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales
dependiendo de su expresión decimal, estos son:
Los números racionales limitados, cuya
representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por
ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
Los números racionales periódicos, de los cuales
sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los
números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón
definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son
infinitas y no-periódicas.
A su vez los números racionales periódicos se
dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente
después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los
cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por
ejemplo 5,48176363636363…
Propiedades
de los números racionales
Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división,
distintas propiedades de los números racionales, estos son:
Entre las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre
será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima
expresión si el caso lo
necesitara.
ab+cd=ef
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el
resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:
(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado
no cambia, de esta manera:
ab+cd=cd+ab
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a
cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.
ab+0=ab
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad
de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la
existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el
cero.
ab−ab=0
Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales
por parte de la multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado
también es un número racional.
ab×cd=ef
Esta además aplica con la división
ab÷cd=ef
Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no
altera el producto.
(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)
Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el
producto, entre los números racionales también funciona.
ab×cd=cd×ab
Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma
de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:
ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef
Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un
elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número
racional, dará como resultado el mismo número.
ab×1=ab
ab÷1=ab
Ejemplos de
números racionales
Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos
escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número
racional, aquí un ejemplo
5/7
Aunque también podría ser expresado de esta manera:
5/7
Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de
los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este
modo:
3=3/1
Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de
fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al
simplificarlo obtenemos la misma respuesta:
15/5=3
También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:
−6=−6/1
0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus
decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:
24/99
EJEMPLO:
Suma de fracciones
Cuando las fracciones a sumar se refieren a la
misma partición, se sumarán conservando el mismo denominador y sumando los
numeradores correspondientes
